题目内容
【题目】如图，抛物线
与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
【答案】（1）
，D（2，8）；（2）（﹣1，
）或（﹣3，﹣
）；（3）（2，
）或（2，
）．
【解析】
试题分析：（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
试题解析：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得：
，解得：
，∴抛物线解析式为 ，∵=
，∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，
），则FG=|
|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴
，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴
，当点F在x轴上方时，有
，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；
当点F在x轴下方时，有
，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；
综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）如图2，设对称轴MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线的图象上，∴n=﹣
（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=
或n=
，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，）或（2，）．
