题目内容
(2012•门头沟区一模)已知:关于x的一元二次方程x2-(1+2k)x+k2-2=0有两个实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k为负整数时,抛物线y=x2-(1+2k)x+k2-2与x轴的交点是整数点,求抛物线的解析式;
(3)若(2)中的抛物线与y轴交于点A,过A作x轴的平行线与抛物线交于点B,连接OB,将抛物线向上平移n个单位,使平移后得到的抛物线的顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界),求n的取值范围.
(1)求k的取值范围;
(2)当k为负整数时,抛物线y=x2-(1+2k)x+k2-2与x轴的交点是整数点,求抛物线的解析式;
(3)若(2)中的抛物线与y轴交于点A,过A作x轴的平行线与抛物线交于点B,连接OB,将抛物线向上平移n个单位,使平移后得到的抛物线的顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界),求n的取值范围.
分析:(1)根据一元二次方程有两个实数根,求出根的判别式,即可求出k的取值范围;
(2)根据(1)中求出的k的取值范围,分别讨论k=-2,k=-1时的情况,求出抛物线的解析式;
(3)由题意得,A(0,2),B(-3,2),设OB的解析式为y=mx+2,
(2)根据(1)中求出的k的取值范围,分别讨论k=-2,k=-1时的情况,求出抛物线的解析式;
(3)由题意得,A(0,2),B(-3,2),设OB的解析式为y=mx+2,
解答:解:(1)由题意得,(1+2k)2-4(k2-2)≥0,
解得,k≥-
K的取值范围是k≥-
.
(2)k为负整数,k=-2,-1.
当k=-2时,y=x2+3x+2与x轴的两个交点是(-1,0)(-2,0)是整数点,符合题意,
当k=-1时,y=x2+x-1与x轴的交点不是整数点,不符合题意,
抛物线的解析式是y=x2+3x+2.
(3)由题意得,A(0,2),B(-3,2)
设OB的解析式为y=mx+2,解得m=-
OB的解析式为y=-
x,y=x2+3x+2的顶点坐标是(-
,-
)
OB与抛物线对称轴的交点坐标(-
,1),
直线AB与抛物线对称轴的交点坐标是(-
,2),
由图象可知,n的取值范围是
<n<
,
解得,k≥-
9 |
4 |
K的取值范围是k≥-
9 |
4 |
(2)k为负整数,k=-2,-1.
当k=-2时,y=x2+3x+2与x轴的两个交点是(-1,0)(-2,0)是整数点,符合题意,
当k=-1时,y=x2+x-1与x轴的交点不是整数点,不符合题意,
抛物线的解析式是y=x2+3x+2.
(3)由题意得,A(0,2),B(-3,2)
设OB的解析式为y=mx+2,解得m=-
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3 |
OB的解析式为y=-
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1 |
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OB与抛物线对称轴的交点坐标(-
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2 |
直线AB与抛物线对称轴的交点坐标是(-
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由图象可知,n的取值范围是
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9 |
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点评:本题主要考查二次函数的综合题的知识点,解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和函数图象平移的知识,此题数形结合比较方便.
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