Question

如下图，△ABC中，已知BAC =45，AD⊥BC于点D，BD =2，DC =3，求AD的长。小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值。

Answer 1

解：（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
 ∴DAB=EAB，DAC= FAC，
又BAC =45°，
∴EAF=90°，
又∵AD⊥BC，
∴E= ADB =90°  
同理F= ADC= 90°，
又∵AE =AD，AF= AD，
∴AE =AF，      
∴四边形AEGF是正方形；     
（2）设AD =x，则AE =EC= GF =x，     
∵BD =2，DC=3，      
∴BE =2，CF=3，      
∴BG =x -2，CC=x -3，     
在Rt△BGC中，BC²+ CG²=BC²      
∴（x-2）²+（x-3）²=5²，     
化简得，x²-5x -6 =0，      
解得x₁=6，x₂=-1（舍），      
所以AD=x=6。