Question

【题目】如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．

（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）若AB=3 ，AG=3，求EB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD、AGFE是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，

∴∠EAB=∠GAD，

在△AEB和△AGD中，

，

∴△EAB≌△GAD（SAS）

（2）证明：∵△EAB≌△GAD，

∴EB=GD，

∵四边形ABCD是正方形，AB=3 ，

∴BD⊥AC，AC=BD= AB=6，

∴∠DOG=90°，OA=OD= BD=3，

∵AG=3，

∴OG=OA+AG=6，

∴GD= =3 ，

∴EB=3 ．

【解析】（1）由四边形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，然后利用SAS即可证得△EAB≌△GAD，（2）由（1）则可得EB=GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的长，继而可得EB的长．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正方形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．