题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x22x+3与轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.

(1)求直线AC的解析式,并直接写出D点的坐标.

(2)如图1,在直线AC的上方抛物线上有一动点P,过P点作PQ垂直于x轴交AC于点Q,PMBD交AC于点M.

PQM周长最大值;

PQM周长取得最大值时,PQ与x轴交点为H,首位顺次连接P、H、O、D构成四边形,它的周长为L,若线段OH在x轴上移动,求L最小值时OH移动的距离及L的最小值.

(3)如图2,连接BD与y轴于点F,将BOF绕点O逆时针旋转,记旋转后的三角形为BOF,BF所在直线与直线AC、直线OC分别交于点G、K,当CGK为直角三角形时,直接写出线段BG的长.

【答案】(1)、y=x+3;(1,4);(2)、PMQ的周长最大值为;L的最小值为;(3)、或4

【解析】

试题分析:(1)、首先求出抛物线与坐标轴的交点,利用待定系数法以及配方法即可解决问题.(2)、如图1中,作DNy轴J交AC于N,直线BD交AC于K.先求出DKN的三边,再求出PQ的最大值,利用相似三角形的性质求出PM、MQ即可解决问题.如图2中,作PEx轴交y轴与E,作E关于x轴的对称点K,连接DK与x轴交于点O,将OH平移到OH处,此时四边形PHOD的周长最小.分别求出PD,DK,OO即可解决问题.(3)、分两种情形如图3中,当CGK=90°时,作OEGK于E,想办法求出点G坐标即可.如图4中,当CKG=90°时,求出点G坐标即可解决问题.

试题解析:(1)、对于抛物线y=x22x+3,令x=0得y=3,点C(0,3), 令y=0得x22x+3=0,解得x=3或1, A(3,0),B(1,0), 设直线AC的解析式为y=kx+b,把A、C两点坐标代入得到 解得 直线AC的解析式为y=x+3.y=x22x+3=(x+1)2+4,

顶点D坐标为(1,4).

(2)、如图1中,作DNy轴J交AC于N,直线BD交AC于K.

直线AC的解析式为y=x+3,直线BD的解析式为y=y=2x+2, 解得

点K坐标(),N(1,2), DN=2,DK==,KN== PMQ中,∵∠PMQ=DKN=定值,

PMQ周长的最大值时,PQ定值最大,设P(m,m22m+3)则Q(m,m+3),

PQ=m22m+3m3=m23m=(m+)2+ a=1<0, m=时,PQ的最大值为

PMQ∽△DKN,得== == PM=,MQ=

∴△PMQ的周长最大值为++ 如图2中,作PEx轴交y轴与E,作E关于x轴的对称点K,连接DK与x轴交于点O,将OH平移到OH处,此时四边形PHOD的周长最小.

P(),D(1,4),K(0,), O坐标为(,0),PD==,DK==,OH=

OH向左平移个单位,L的最小值=PD+DK+OH=++

()、如图3中,当CGK=90°时,作OEGK于E,

OA=OC,AOC=90° ∴∠GCK=GKC=OKE=KOE=45° OE===

OK=,KC=3 G( +),

GB==

如图4中,当CKG=90°时,点G(3,),

BG==4

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