题目内容

【题目】如图,把OAB放置于平面直角坐标系xOy中,OAB=90°,OA=2,AB=,把OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到DCE.

1若过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过点B、E,求此抛物线的解析式;

2若点P在该抛物线上移动,当点p在第一象限内时,过点p作PQx轴于点Q,连接OP.若以O、P、Q为定点的三角形与以B、C、E为定点的三角形相似,直接写出点P的坐标;

3若点M4,n在该抛物线上,平移抛物线,记平移后点M的对应点为M,点B的对应点为B.当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形MBCD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x22P1,或P 3存在,将抛物线向左平移个单位时,四边形MBCD的周长最短,此时抛物线的解析式为y=x+2

【解析】

试题分析:1根据平移的性质求得B,E的坐标,然后利用待定系数法即可求得函数的解析式;2点P的坐标可设为x,,因为BEC=OQP=90°,所以以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似时,Q与E一定对应,然后分两种情况进行讨论:iOQP∽△BEC;iiPQO∽△BEC;根据相似三角形对应边成比例列出比例式,求解即可;3左右平移时,使M'D+CB'最短即可,那么作出点M关于x轴对称点的坐标为M,得到直线BM的解析式,令y=0,求得相应的点的坐标;进而得到抛物线顶点平移的规律,用顶点式设出相应的函数解析式,把新顶点坐标代入即可.

试题解析:1依题意得:B2,OC=2,CE=E2,

抛物线经过原点和点B、E,设抛物线的解析式为y=ax2a0

抛物线经过点B2,=4a.解得:a=

抛物线的解析式为y=x2

2点P在抛物线上,设点P的坐标为x,x2

分两种情况:iOQP∽△BEC时,则,即 ,解得:x=1,点P的坐标为1,

iiPQO∽△BEC时,则,即,解得:x=点P的坐标为

综上所述,符合条件的点P的坐标是P1,或P

3存在.

因为线段MB和CD的长是定值,所以要使四边形MBCD的周长最短,只要使MD+CB最短.

如果将抛物线向右平移,显然有MD+CB>MD+CB,因此不存在某个位置,使四边形MBCD的周长最短,显然应该将抛物线 y=x2向左平移.

由题知M4,6.设抛物线向左平移了n个单位,则点M和B的坐标分别为

M4n,6和B2n,

因为CD=2,因此将点B向左平移2个单位得Bn,

要使MD+CB最短,只要使MD+DB最短.点M关于x轴对称点的坐标为M4n,6

设直线MB的解析式y=kx+bk0,点D应在直线MB上,

直线MB的解析式为y=,将Bn,代入,求得n=

故将抛物线向左平移个单位时,四边形MBCD的周长最短,此时抛物线的解析式为y=x+2

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