题目内容
【题目】如图,把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中,∠OAB=90°,OA=2,AB=,把△OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE.
(1)若过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过点B、E,求此抛物线的解析式;
(2)若点P在该抛物线上移动,当点p在第一象限内时,过点p作PQ⊥x轴于点Q,连接OP.若以O、P、Q为定点的三角形与以B、C、E为定点的三角形相似,直接写出点P的坐标;
(3)若点M(﹣4,n)在该抛物线上,平移抛物线,记平移后点M的对应点为M′,点B的对应点为B′.当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形M′B′CD的周长最短?若存在,求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2;(2)P(1,)或P (,);(3)存在,将抛物线向左平移个单位时,四边形M′B′CD的周长最短,此时抛物线的解析式为y=(x+)2.
【解析】
试题分析:(1)根据平移的性质求得B,E的坐标,然后利用待定系数法即可求得函数的解析式;(2)点P的坐标可设为(x,),因为∠BEC=∠OQP=90°,所以以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似时,Q与E一定对应,然后分两种情况进行讨论:(i)△OQP∽△BEC;(ii)△PQO∽△BEC;根据相似三角形对应边成比例列出比例式,求解即可;(3)左右平移时,使M'D+CB'最短即可,那么作出点M′关于x轴对称点的坐标为M″,得到直线B″M″的解析式,令y=0,求得相应的点的坐标;进而得到抛物线顶点平移的规律,用顶点式设出相应的函数解析式,把新顶点坐标代入即可.
试题解析:(1)依题意得:B(2,),∵OC=2,CE=,∴E(﹣2,).
∵抛物线经过原点和点B、E,∴设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0).
∵抛物线经过点B(2,),∴=4a.解得:a=.
∴抛物线的解析式为y=x2;
(2)∵点P在抛物线上,∴设点P的坐标为(x,x2).
分两种情况:(i)当△OQP∽△BEC时,则,即 ,解得:x=1,∴点P的坐标为(1,);
(ii)当△PQO∽△BEC时,则,即,解得:x=,∴点P的坐标为(,).
综上所述,符合条件的点P的坐标是P(1,)或P (,);
(3)存在.
因为线段M′B′和CD的长是定值,所以要使四边形M′B′CD的周长最短,只要使M′D+CB′最短.
如果将抛物线向右平移,显然有M′D+CB′>MD+CB,因此不存在某个位置,使四边形M′B′CD的周长最短,显然应该将抛物线 y=x2向左平移.
由题知M(﹣4,6).设抛物线向左平移了n个单位,则点M′和B′的坐标分别为
M′(﹣4﹣n,6)和B′(2﹣n,).
因为CD=2,因此将点B′向左平移2个单位得B″(﹣n,).
要使M′D+CB′最短,只要使M′D+DB″最短.点M′关于x轴对称点的坐标为M″(﹣4﹣n,﹣6).
设直线M″B″的解析式y=kx+b(k≠0),点D应在直线M″B″上,
∴直线M″B″的解析式为y=,将B″(﹣n,)代入,求得n=.
故将抛物线向左平移个单位时,四边形M′B′CD的周长最短,此时抛物线的解析式为y=(x+)2.