Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E．求证：
（1）PE=BO；
（2）设AC=2，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

Answer 1

分析：（1）根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，再由条件PB=PD可得∠PBD=∠PDB，再证出∠PB0=∠DPE，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE=PD．
（2）首先根据题意可得到△APB的面积，再求出△CDE的面积，四边形PBDE的面积为y=△ABC的面积-△CDE的面积-△APB的面积．

解答：解：（1）P在AO上．
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，
∴BO⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠POB=∠DEP=90°，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PBO+∠OBC=∠CPD+∠C
=∠PBO+45°=∠CPD+45°=∠PDB=∠PBD，
∴∠PBO+45°=∠CPD+45°，
∴∠PB0=∠DPE，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；

（2）S_△APB=

1

2

×x×1=

1

2

x，
DE=CE=1-x，
S_△CDE=

1

2

（1-x）²，
y=S_△ABC-S_△ABP-S_△DEC，
=

1

2

×1×2-

1

2

x-

1

2

（1-x）²，
=

1

2

+

1

2

x-

1

2

x²，
定义域：0＜x＜1．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用及全等三角形的判定及性质，是一道难度较大、综合性较强的综合题，解题时一定要仔细审题．