Question

如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=3．D为AB上的点（点D与点A、B不重合），作DE∥BC交AC于点E．
（1）若CE=x，BD=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的范围；
（2）若G为BC边上一点，当四边形DECG为菱形时，求BG的长；
（3）BC边上是否存在点F，使△FDE∽△BAC？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵DE∥BC交AC于点E，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵CE=x，BD=y，
∴AE=AC-CE=3-x，AD=AB-BD=5-y，
∴，
∴y=x（0＜x＜3）；

（2）∵四边形DECG为菱形，
∴DG∥AC，DE=DG=CG=CE，
∴△BGD∽△BCA，
∴，
设BG=a，则CG=5-a，
∴DG=CG=5-a，
∴，
∴a=，
∴BG=；

（3）BC边上存在点F，使△FDE∽△BAC，
∵△FDE∽△BAC，
∴∠DFE=∠ABC，∠FDE=∠BAC，∠DEF=∠ACB，
又∵DE∥BC，
∴∠DEF=∠EFC，
∴∠DFE=∠FEC，
∴DF∥AC，
∴四边形DFCE为平行四边形，
∴△BDF∽△BAC，
设DE=3k，则DF=EF=EC=5k，FC=3k
∴，
∴，
∴k=＜6，
∴BF=5-=
∴当BF=时，△FDE∽△BAC．
分析：（1）由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可的到x和y的函数关系式，在由已知条件写出自变量x的范围即可；
（2）根据菱形的性质四边相等，可设BG=a，则CG=DG=5-a，又因为DG∥AC，所以△BGD∽△BCA，利用相似三角形的性质可得到关于a的比例式，求出a即可；
（3）假设BC边上存在点F，使△FDE∽△BAC当，由相似三角形的性质和已知条件可证明四边形DFCE为平行四边形，进而证明△BDF∽△BAC，设DE=3k，则DF=EF=EC=5k，FC=3k，由比例式即可求出k的值，若k＜5即可存在，否则不存在．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的性质，题目的综合性很强，解题的关键是设未知数建立方程，运用方程的思想解几何问题．