Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过正方形ABCD的顶点A和B，点C、D的坐标分别是（0，﹣1）和（4，﹣3），边AD，BC分别交x轴于点E、F．

（1）填空：正方形的边长为　 　；

（2）求反比例函数y＝的解析式；

（3）若点M是直线BC上一动点，作MN∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点N，过点M，N分别向x轴作垂线，垂足分别为P、Q，得到矩形MPQN，设点M的横坐标为a．

①填空：点N的坐标为　 　；（用含a的代数式表示）

②填空：若矩形MPQN的面积为6，则点M的横坐标为　 　．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）（3）0，或

【解析】

(1)由点C，D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD的长，此问得解；

(2)过点B作BB′⊥y轴于点B′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，则△B′BC≌△D′CD(AAS)，利用全等三角形的性质可求出BB′，CB′，OB′的长度，进而可得出点B的坐标，由点B的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；

(3)①由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，由点M的横坐标为a，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可得出点M，N的坐标；

②由点M，N的坐标，可得出MN，MP的长，由矩形的面积公式结合矩形MPQN的面积为6，可得出关于a的方程，解之经检验后即可得出结论．

(1)∵点C的坐标为(0，﹣1)，点D的坐标为(4，﹣3)，

∴CD＝，

故答案为：2；

(2)过点B作BB′⊥y轴于点B′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图1所示，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BCD＝90°，BC＝CD．

∵∠B′BC+∠B′CB＝90°，∠B′CB+∠D′CD＝90°，

∴∠B′BC＝∠D′CD，

在△B′BC和△D′CD中，

，

∴△B′BC≌△D′CD(AAS)，

∴BB′＝CD′＝2，CB′＝DD′＝4，

∴OB′＝CB′﹣OC＝3，

∴点B的坐标为(2，3)，

将B(2，3)代入y＝，得：3＝，

∴k＝6，

∴反比例函数的解析式为y＝；

(3)①设直线BC的解析式为y＝mx+n(m≠0)，

将B(2，3)，C(0，﹣1)代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝2x﹣1，

∵点M的横坐标为a，

∴点M的坐标为(a，2a﹣1)，

∵MN∥x轴，且点N反比例函数y＝的图象上，

∴点N的坐标为(，2a﹣1)，

故答案为：(，2a﹣1)；

②∵点M的坐标为(a，2a﹣1)，点N的坐标为(，2a﹣1)，

∴MN＝|a﹣|，MP＝|2a﹣1|，

∵矩形MPQN的面积为6，

∴|a﹣||2a﹣1|＝6，即2a2﹣a＝0或2a2﹣a﹣12＝0，

解得：a1＝0，a2＝，a3＝，a4＝，

经检验，a1＝0，a3＝，a4＝是原方程的解，且符合题意，a2＝是增根，舍去，

故答案为：0，或．