题目内容
【题目】已知抛物线y=x+bx+c的顶点为D,且经过A(1,0);B(0,2) 两点,将△OAB绕点A顺时针旋转90后,点B落到点C的位置,将该抛物线沿着对称轴上下平移,使之经过点C,此时得到的新抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D.
(1)求新抛物线的解析式;
(2)若点N在新抛物线上,满足三角形NBB1的面积是三角形NDD1面积的2倍,求点N坐标.
【答案】(1)y=x2-3x+2;(2)(1,-1)或(3,1).
【解析】试题分析:(1)利用待定系数法,将点A,B的坐标代入解析式即可求得原抛物线解析式;
(2)根据旋转的知识可得:A(1,0),B(0,2),由OA=1,OB=2,可得旋转后C点的坐标为(3,1),当x=3时,由y=x2﹣3x+2得y=2,可知抛物线y=x2﹣3x+2过点(3,2),故可知将原抛物线沿对称轴向下平移1个单位后过点C.于是得到平移后的抛物线解析式.根据三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标特征来求点N的坐标.
试题解析:解:(1)由抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点得,∴,解得: ,所以原抛物线为:y=x2﹣3x+2=(x﹣)2﹣,则D(,﹣);
(2)∵A(1,0),B(0,2),∴OA=1,OB=2,可得旋转后C点的坐标为(3,1),当x=3时,由y=x2﹣3x+2得y=2,可知抛物线y=x2﹣3x+2过点(3,2),∴将原抛物线沿对称轴向下平移1个单位后过点C,∴平移后的抛物线解析式为:y=x2﹣3x+1,D1(,﹣).
又点N在平移后的抛物线上,且△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,∴点N到y轴的距离是到直线DD1距离的2倍,易求得N(1,﹣1),或(3,1).
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