Question

思考：
（1）如图①，AD为△ABC边上的中线，则△ABD和△ACD面积之间的关系为

 

，理由

 

．
（2）如图②，在△ABC和△DEF中AC=DE，BC=EF，且∠ACB+∠DEF=180°．则△ABC和△DEF的面积之间的关系为

 

．
发现：两边对应相等，且两边所夹的角互补的两个三角形的面积

 

．
应用：
（3）如图③在△ABC中，∠BAC=90°，角平分线BD、CE交于点I，连接DE，
①求∠BIE的度数．
②若△BIC的面积是S平方米，求四边形BCDE的面积．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的面积公式，两三角形等底同高，所以它们的面积也相等；
（2）过点A作△ABC的BC边上的高，过点D作△DEF的边EF上的高，可以利用HL证明两高相等，所以两三角形等底等高，面积相等；
（3）①先求出

1

2

（∠ABC+∠ACB）的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答；
②在BC上截取BM=BE、CN=CD，根据SAS定理可以证明△BIE≌△BIM，△CID≌△CIN，再根据全等三角形对应边相等得到EI=MI，DI=NI，全等三角形对应角相等，推出∠EID与∠MIN互补，从而得到△DIE与△MIN的面积相等，最后求出四边形BCDE的面积等于△BIC的面积的2倍．

解答：解：（1）相等，等底同高面积相等；
（2）相等，相等；

（3）①∵∠BIE=

1

2

（∠ABC+∠ACB）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-90°=90°，
∴∠BIE=

1

2

（180°-∠A）=45°；

②在BC上截取BM=BE、CN=CD，
则△BIE≌△BIM（SAS），△CID≌△CIN（SAS），
∵∠BIM=∠BIE=45°，∠CIN=∠CID=45°，
即∠EIM=∠DIN=90°，
∴∠DIE+∠MIN=180°，
∴S_△DIE=S_△MIN，
∴S_{四边形BCDE}=2S_△BCI=2S．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，读懂题目信息是解题的关键，根据信息作辅助线构造出符合信息的图形是本题的难点．