题目内容

【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于C(0,﹣2).

(1)求抛物线的解析式;

(2)H是C关于x轴的对称点,P是抛物线上的一点,当△PBH与△AOC相似时,求符合条件的P点的坐标(求出两点即可);

(3)过点C作CD∥AB,CD交抛物线于点D,点M是线段CD上的一动点,作直线MN与线段AC交于点N,与x轴交于点E,且∠BME=∠BDC,当CN的值最大时,求点E的坐标.

【答案】(1)y=x2x2;(2)P的坐标为(1,0)或(8,18);(3)E的坐标为(,0).

【解析】

试题分析:(1)由抛物线与x轴交于A(1,0),B(4,0),可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x4),然后将(0,2)代入解析式即可求出a的值;(2)当PBH与AOC相似时,PBH是直角三角形,由可知AHB=90°,根据待定系数法求出直线AH的解析式后,联立一次函数与二次函数的解析式后即可求出P的坐标;(3)设M的坐标为(m,0),由BME=BDC可知EMC=MBD,所以NCM∽△MDB,利用对应边的比相等即可得出CN与m的函数关系式,利用二次函数的性质即可求出m=时,CN有最大值,然后再证明EMB∽△BDM,即可求出E的坐标.

试题解析:(1)抛物线与x轴交于A(1,0),B(4,0),

设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x4),

把(0,2)代入y=a(x+1)(x4),

a=

抛物线的解析式为:y=x2x2;

(2)当PBH与AOC相似时,

∴△AOC是直角三角形,

∴△PBH也是直角三角形,

由题意知:H(0,2),

OH=2,

A(1,0),B(4,0),

OA=1,OB=4,

∵∠AOH=BOH,

∴△AOH∽△BOH,

∴∠AHO=HBO,

∴∠AHO+BHO=HBO+BHO=90°

∴∠AHB=90°

设直线AH的解析式为:y=kx+b,

把A(1,0)和H(0,2)代入y=kx+b,

解得k=2,b=2,

直线AH的解析式为:y=2x+2,

联立

解得:x=1或x=8,

当x=1时,

y=0,

当x=8时,

y=18

P的坐标为(1,0)或(8,18)

(3)过点M作MFx轴于点F,

设点E的坐标为(n,0),M的坐标为(m,0),

∵∠BME=BDC,

∴∠EMC+BME=BDC+MBD,

∴∠EMC=MBD,

CDx轴,

D的纵坐标为2,

令y=2代入y=x2x2,

x=0或x=3,

D(3,2),

B(4,0),

由勾股定理可求得:BD=

M(m,0),

MD=3m,CM=m(0m3)

由抛物线的对称性可知:NCM=BDC,

∴△NCM∽△MDB,

CN=

当m=时,CN可取得最大值,

此时M的坐标为(2),

MF=2,BF=,MD=

由勾股定理可求得:MB=

E(n,0),

EB=4n,

CDx轴,

∴∠NMC=BEM,EBM=BMD,

∴△EMB∽△BDM,

MB2=MDEB,

=×(4n),

n=

E的坐标为(,0).

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