Question

探索与发现，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．
（1）如图，若∠B=20°，∠C=58°，求∠EAD的度数．

（2）如图，当∠B和∠C（∠C＞∠B）为锐角时，由第1小题的计算过程，猜想∠EAD、∠B和∠C之间的关系是______（不必说明理由）．

（3）如图，当∠B为锐角，而∠ACB分别为直角和钝角时，第（2）小题的结论还成立吗？（只写成立或不成立，不必说明理由）：______

Answer 1

解：（1）∵∠B=20°，∠C=58°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=102°，
而AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC=∠BAC=51°，
又∵AD是BC边上的高，
∴∠DAC=90°-∠C=32°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=51°-32°=19°；
（2）∠EAD=（∠C-∠B）；
（3）成立．
分析：（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC=180°-∠B-∠C=102°，利用角平分线的定义得∠EAC=∠BAC=51°，而∠DAC=90°-∠C=32°，通过∠EAD=∠EAC-∠DAC即可得到结果．
（2）和（1）一样：∠EAC=90°-∠B-∠C，而∠DAC=90°-∠C，则可得∠EAD=∠EAC-∠DAC=（∠C-∠B）；
（3）∠B为锐角，而∠ACB分别为直角和钝角时，证明的方法一样．
点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的角平分线和高的性质．