题目内容

【题目】如图,已知抛物线经过点A﹣20),点B﹣33)及原点O,顶点为C

1)求抛物线的解析式;

2)在抛物线的BC段上,是否存在一点G,使得GBC的面积最大?若存在,求出这个最大值及此时点G的坐标;若不存在,请说明理由;

3P是抛物线的第一象限内的动点,过点PPMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以PMA为顶点的三角形与BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

4)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AODE为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点D的坐标.

【答案】(1)∴抛物线的解析式为y=x22x

(2)当x=﹣2时,SGBC=1最大,此时,G(﹣2,0);

(3)符合条件的点P有两个,分别是P1 ),P2(3,15)

(4)D1(1,3)D2(﹣3,3);D3(﹣1,﹣1).

【解析】试题分析:(1)由于抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)存在一点G,使得△GBC的面积最大,过GGH垂直y轴交BC于点H,设Gx1x2+2x),求出直线BC的解析式,表示出点H的坐标,用x表示出GH的长,构建 出以GH和△GBC的面积为变量的二次函数模型,根据二次函数的性质求解即可;(3)分两种情况讨论,①△AMP∽△BOC,②PMA∽△BOC,根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标。(4)分OA为平行四边形的一边和对角线两种情况,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、对角线互相平分的四边形是平行四边形,可以求出点D的坐标.

试题解析:

1抛物线的解析式为y=x﹣2x=x2﹣2x

2)存在一点G,使得△GBC的面积最大,理由如下:

理由:过GGH垂直y轴交BC于点H,设Gx1x2+2x),设过直线BC的解析式为y=kx+b∵y=x﹣2x=x2﹣2x=x+12﹣1顶点C﹣1﹣1),

∵B﹣3﹣3),∴y=﹣2x﹣3可设点Hx﹣2x﹣3∴SGBC=﹣2x﹣3﹣x2﹣2x﹣1+3=﹣x2﹣4x﹣3=﹣x+22+1

∵a=﹣10,对称轴为x=﹣2x=﹣2时,SGBC=1最大,此时,G﹣20);

3)存在,B在抛物线上,x=﹣3时,y=9﹣6=3∴B﹣33),

根据勾股定理得:BO2=9+9=18CO2=1+1=2BC2=16+4=20∴BO2+CO2=18+2=20∴BO2+CO2=BC2∴△BOC为直角三角形,假设存在点P,使得以PMA为顶点的三角形与△BOC相似,如图2,设Pmn),由题意得m0n0,且n=m2+2m

△AMP∽△BOC,则,即,整理得:m+2=3m2+2m=0,即3m2+5m﹣2=0,解得:m1=m2=﹣2(舍去),m1=时,n=+=∴P);

△AMP∽△COB,则,即,整理得:m2﹣m﹣6=0

解得 m1=3m2=﹣2(舍去),当m=3时,n=9+6=15∴P315),

综上所述,符合条件的点P有两个,分别是P1),P2315);

4)如图3所示,分三种情况考虑:

D1在第一象限时,若四边形AOD1E1为平行四边形,

∴AO=E1D1=2

抛物线对称轴为直线x=﹣1

∴D1横坐标为1

x=1代入抛物线y=x2+2x=1+2=3,即D113);

D2在第二象限时,同理D2﹣33);

D3在第三象限时,若四边形AE2OD3为平行四边形,此时D3C重合,即D3﹣1﹣1).

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