题目内容
【题目】如图,已知抛物线经过点A(﹣2,0),点B(﹣3,3)及原点O,顶点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的BC段上,是否存在一点G,使得△GBC的面积最大?若存在,求出这个最大值及此时点G的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)P是抛物线的第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点D的坐标.
【答案】(1)∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x;
(2)当x=﹣2时,S△GBC=1最大,此时,G(﹣2,0);
(3)符合条件的点P有两个,分别是P1(, ),P2(3,15)
(4)D1(1,3),D2(﹣3,3);D3(﹣1,﹣1).
【解析】试题分析:(1)由于抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)存在一点G,使得△GBC的面积最大,过G作GH垂直y轴交BC于点H,设G(x1,x2+2x),求出直线BC的解析式,表示出点H的坐标,用x表示出GH的长,构建 出以GH和△GBC的面积为变量的二次函数模型,根据二次函数的性质求解即可;(3)分两种情况讨论,①△AMP∽△BOC,②PMA∽△BOC,根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标。(4)分OA为平行四边形的一边和对角线两种情况,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、对角线互相平分的四边形是平行四边形,可以求出点D的坐标.
试题解析:
(1)∴抛物线的解析式为y=(x﹣2)x=x2﹣2x;
(2)存在一点G,使得△GBC的面积最大,理由如下:
理由:过G作GH垂直y轴交BC于点H,设G(x1,x2+2x),设过直线BC的解析式为y=kx+b,∵y=(x﹣2)x=x2﹣2x=(x+1)2﹣1,∴顶点C(﹣1,﹣1),
又∵B(﹣3,﹣3),∴,∴,∴y=﹣2x﹣3,∴可设点H(x,﹣2x﹣3)∴S△GBC=(﹣2x﹣3﹣x2﹣2x)(﹣1+3)=﹣x2﹣4x﹣3=﹣(x+2)2+1
∵a=﹣1<0,对称轴为x=﹣2,∴当x=﹣2时,S△GBC=1最大,此时,G(﹣2,0);
(3)存在,∵点B在抛物线上,∴当x=﹣3时,y=9﹣6=3,∴B(﹣3,3),
根据勾股定理得:BO2=9+9=18;CO2=1+1=2;BC2=16+4=20,∴BO2+CO2=18+2=20,∴BO2+CO2=BC2,∴△BOC为直角三角形,假设存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似,如图2,设P(m,n),由题意得m>0,n>0,且n=m2+2m,
①若△AMP∽△BOC,则,即,整理得:m+2=3(m2+2m)=0,即3m2+5m﹣2=0,解得:m1=,m2=﹣2(舍去),m1=时,n=+=,∴P(,);
②若△AMP∽△COB,则,即,整理得:m2﹣m﹣6=0,
解得 m1=3,m2=﹣2(舍去),当m=3时,n=9+6=15,∴P(3,15),
综上所述,符合条件的点P有两个,分别是P1(,),P2(3,15);
(4)如图3所示,分三种情况考虑:
当D1在第一象限时,若四边形AOD1E1为平行四边形,
∴AO=E1D1=2,
∵抛物线对称轴为直线x=﹣1,
∴D1横坐标为1,
将x=1代入抛物线y=x2+2x=1+2=3,即D1(1,3);
当D2在第二象限时,同理D2(﹣3,3);
当D3在第三象限时,若四边形AE2OD3为平行四边形,此时D3与C重合,即D3(﹣1,﹣1).
【题目】某大奖赛评分规则:去掉7位评委评分中的一个最高分和一个最低分,其平均分为选手的最后得分.下表是7位评委给某位选手的评分(单位:分)情况:
评委 | 1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 5号 | 6号 | 7号 |
评分 | 9.3 | 9.4 | 9.8 | 9.6 | 9.2 | 9.7 | 9.5 |
则这位选手的最后得分是( )
A. 9.4分 B. 9.5分 C. 9.6分 D. 9.7分