Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDF，其中D、G分别为斜边AB、EF的中点，连CE，又M为BC中点，N为CE的中点，连MN、MG
（1）如图1，当DE恰好过M点时，求证：∠NMG=45°，且MG=

2

MN；
（2）如图2，当等腰Rt△EDF绕D点旋转一定的度数时，第（1）问中的结论是否仍成立，并证明；
（3）如图3，连BF，已知P为BF的中点，连CF与PN，若CF=6，直接写出

PN

CF

=

2

2

．

Answer 1

分析：（1）连接NG、CF，由题意可得CE=CF，易证MCGE四点共圆，即MN=NG，根据圆周角和圆心角的关系，可得∠MNG=90，即可证得；
（2）连接CF，CD，BE，NG，易证△BDE≌△CDF，则BE=CF，根据三角形中位线的性质，可得MN=NG，∠GNC+∠MNC=90°，即△MNG是等腰直角三角形，即可证得；
（3）连接PD，DM，PD为三角形ABF中位线，PD平行AF，PD=

1

2

AF，在三角形ABC中，DM为中位线，DM=

1

2

AC，MN=

1

2

BE=

1

2

CF，D，M，N共线，DN=

1

2

（BC+CF），BC=AC，DP=DN，三角形DPN是等腰直角三角形，PN/CF=

2

PB

CF

=

2

2

(AC+CF)

CF

=

2

2

（

AC

CF

+1）．

解答：解：（1）连接CF、NG，如图，
∴D、C、G三点共线，
∴CE=CF，DE⊥BC，
∵MN是直角三角形CME斜边上的中线，
∴MN=

1

2

CE，
又∵NG是三角形CEF的中位线，
∴NG=

1

2

CF，
∴NG=NM；
∴MCGE四点共圆，又∠MEG=45°，
∴∠MNG=90，即三角形MNG为等腰直角三角形，
∴∠NMG=∠NGM=45，MG=

2

MN．

（2）连接CF，CD，BE，NG，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，CD是底边中线，
∴CD⊥AB，∠ADC=90°，又∠EDF=90°，∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△CDF中，

BD=CD ∠BDE=∠CDF DE=DF

，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴BE=CF，∠BED=∠DFC，
∵在△CBE中，MN是中线，
∴∠MNC=∠BEC，MN=

1

2

BE，
延长EC交DF于P，
∵在△ECF中，GN是中线，
∴GN=

1

2

CF，∠CNG=∠PCF，
∴∠MNC+∠CNG=∠BEC+∠PCF，
=（∠BED+∠DEP）+（∠DPE-∠PFC），
=∠DFC+∠DEP+∠DPE-∠DFC，
=∠DEP+∠DPE，
∵Rt△EDF中，∠EDF=90°，
∴∠DEP+∠DPE=180°-90°=90°，
∴∠MNG=90°，
∴△MNG是直角三角形，
又∵BE=CF，
∴MN=NG，
∴△MNG是等腰直角三角形，
∴∠NMG=∠NGM=45°，MG=

2

MN；

（3）

2

2

．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定和性质，要熟练掌握等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质，要注意根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，借助辅助线来解答．