Question

【题目】如图所示，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．
求证：
（1）AF∥BE；
（2）△ACP∽△FCA；
（3）CP=AE．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠B、∠F同对劣弧AP，

∴∠B=∠F，

∵BO=PO，

∴∠B=∠BPO，

∴∠F=∠BPF，

∴AF∥BE．

（2）证明：∵AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，

∴∠BAC=90°．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BPA=90°，

∴∠EAP=90°﹣∠BEA，∠B=90°﹣∠BEA，

∴∠EAP=∠B=∠F，

又∠C=∠C，

∴△ACP∽△FCA．

（3）证明：∵∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C．

∴△PCE∽△ACP

∴ ，

∵∠EAP=∠B，∠EPA=∠APB=90°，

∴△EAP∽△ABP．

∴ ，

又AC=AB，

∴ ，

于是有 ．

∴CP=AE．

【解析】（1）由∠B、∠F同对劣弧AP，可知两角的关系，又因BO=PO，△BOP是等腰三角形，求出∠F=∠BPF，得出结论；（2）AC切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，证明∠EAP=∠B，故△ACP∽△FCA；（3）由∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP，∠C=∠C，证得三角形相似，列出比例式，可得到等式成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．