题目内容
【题目】如图所示，将矩形纸片OABC放置在直角坐标系中，点A(3，0)，点C(0，
).
(I).如图，经过点O、B折叠纸片，得折痕OB，点A的对应点为
,求
的度数；
(Ⅱ)如图，点M、N分别为边OA、BC上的动点，经过点M、N折叠纸片，得折痕MN，点B的对应点为
①当点B的坐标为(-1，0)时，请你判断四边形
的形状，并求出它的周长；
②若点N与点C重合，当点落在坐标轴上时，直接写出点M的坐标.
【答案】(Ⅰ)30°；(Ⅱ)①四边形
为菱形，周长为
；②(3+
，0)或(
，0).
【解析】
（Ⅰ）由点A、C的坐标可得出OA、AB的长，即可求出tan∠BOA的值，根据特殊角的三角函数值可得∠BOA的度数，根据折叠的性质利用角的和差关系即可得答案；（Ⅱ）①连接
，交MN与点E．点B，
关于MN对称可得MN是BB1的垂直平分线，即可得出
，
，BN=B1N，BM=B1M，根据矩形的性质可得
．即可证明
，进而可得
，即可证明四边形B1MBN是菱形，过N作
，垂足为F，设
，在Rt△NFB1中，利用勾股定理列方程求出x的值即可得出答案；②分别讨论B1在y轴和x轴两种情况，根据折叠的性质即可得答案.
（Ⅰ）∵矩形OABC，
∴
．
，
∴
．
∵点A的对应点为A1，
∴
．
∴
．
（Ⅱ）①连接，交MN与点E．
∵点B，关于MN对称，
∴MN垂直平分，
∴BN=B1N，BM=B1M，，．
∵
，
∴．
∴．
∴．
∴BN=B1N=B1M=BM，
∴四边形为菱形．
过N作，垂足为F．
设，则
，
．
在
中，
，
∴
，
解得
．
∴菱形的周长为．
②如图，当B1在y轴上时，CM是BB1的垂直平分线，
∴BC=B1C，
∵∠BCB1=90°，
∴∠B1CM=45°，
∴OM=OC=
，
∴点M的坐标为（，0）.
如图，当B1在x轴上时，CM是BB1的垂直平分线，
∴B1C=BC=3，
∴OB1=
=
=
，
∵∠BCD=∠B1MD，∠B1DM=∠BDC=90°，BD=B1D，
∴△BCD≌△B1MD，
∴B1M=BC=3，
∴OM=OB1+B1M=3+，
∴点M的坐标为（3+，0）
综上所述：点M的坐标为（3+，0）或（，0）.
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