Question

【题目】韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1、x2 ， 则x1+x2=﹣ ， x1x2= ， 阅读下面应用韦达定理的过程：
若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的两根分别为x1、x2 ， 求x12+x22的值．
解：该一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0
由韦达定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1x2===﹣
x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=22﹣2×（﹣）
=5
然后解答下列问题：
（1）设一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根分别为x1 ， x2 ， 不解方程，求x12+x22的值；
（2）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的两根分别为α，β，且α2+β2=4，求k的值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵一元二次方程的△=b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，
由根与系数的关系得：x1+x2=﹣ ， x1x2=﹣ ，
∴+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==；
（2）由根与系数的关系知：=﹣k﹣1，αβ==k﹣1，
α2+β2=（（α+β）2﹣2αβ=（k+1）2﹣2（k﹣1）=k2+3
∴k2+3=4，
∴k=±1，
∵k﹣1≠0
∴k≠1，
∴k=﹣1，
将k=﹣1代入原方程：﹣2x2+4=0，
△=32＞0，
∴k=﹣1成立，
∴k的值为﹣1．
【解析】（1）先根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣ ， x1x2=﹣ ， 再利用完全平方公式变形得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2 ， 然后利用整体代入的方法计算即可；
（2）根据一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的两根分别为α，β，求出两根之积和两根之和的关于k的表达式，再将α2+β2=4变形，将表达式代入变形后的等式，解方程即可．
【考点精析】掌握根与系数的关系是解答本题的根本，需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．