题目内容
已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:(1)求二次函数的解析式;
(2)求以二次函数图象与坐标轴交点为顶点的三角形面积;
(3)若A(m,y1),B(m-1,y2),两点都在该函数的图象上,且m<2,试比较y1与y2的大小.
分析:(1)由图表可知:该抛物线的顶点坐标为(2,-2),可将该二次函数解析式设为顶点式,任取一点坐标代入即可求得该二次函数的解析式;
(2)令二次函数解析式中,y=0,可求得抛物线与x轴的交点坐标;令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;以抛物线与x轴两交点间的距离为底,与y轴交点的纵坐标的绝对值为高,即可求得该三角形的面积;
(3)根据m的取值范围,先确定A、B两点位于抛物线对称轴的哪一侧,然后根据抛物线的开口方向以及函数的增减性来讨论A、B的纵坐标的大小关系.
(2)令二次函数解析式中,y=0,可求得抛物线与x轴的交点坐标;令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;以抛物线与x轴两交点间的距离为底,与y轴交点的纵坐标的绝对值为高,即可求得该三角形的面积;
(3)根据m的取值范围,先确定A、B两点位于抛物线对称轴的哪一侧,然后根据抛物线的开口方向以及函数的增减性来讨论A、B的纵坐标的大小关系.
解答:解:(1)由表格知,二次函数顶点坐标为(2,-2),
设y=a(x-2)2-2,
又二次函数过点(0,2),
代入解得a=1,
∴二次函数为y=(x-2)2-2,
整理得y=x2-4x+2.
(2)二次函数y=x2-4x+2与y轴交于点(0,2),
令y=0得:x1=2+
,x2=2-
;
二次函数与x轴交于(2-
,0),(2+
,0),
求得三角形面积为
×2
×2=2
.
(3)∵对称轴为直线x=2,图象开口向上,
又∵m<2,m>m-1,
∴y1<y2.
设y=a(x-2)2-2,
又二次函数过点(0,2),
代入解得a=1,
∴二次函数为y=(x-2)2-2,
整理得y=x2-4x+2.
(2)二次函数y=x2-4x+2与y轴交于点(0,2),
令y=0得:x1=2+
2 |
2 |
二次函数与x轴交于(2-
2 |
2 |
求得三角形面积为
1 |
2 |
2 |
2 |
(3)∵对称轴为直线x=2,图象开口向上,
又∵m<2,m>m-1,
∴y1<y2.
点评:此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法以及二次函数的增减性等基础知识;需要注意的是,在讨论二次函数增减性的时候,一定要考虑到抛物线的对称轴及开口方向.
练习册系列答案
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已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),对称轴为直线x=1,它的部分自变量与函数值y的对应值如下表,写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值________(精确到0.1).
x | -0.1 | -0.2 | -0.3 | -0.4 |
y=ax2+bx+c | -0.58 | -0.12 | 0.38 | 0.92 |