Question

(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过
点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)当∠BAC＝60º时，DE与DF有何数量关系？请说明理由；
(3)当AB＝5，BC＝6时，求tan∠BAC的值．

Answer 1

 
（1）      证明：连结OD，
∵AB=AC，∴∠2=∠C
又∵OD=OB，∴∠2=∠1
∴∠1=∠C
∴OD∥AC
∵EF⊥AC
∴OD⊥EF
∴EF是⊙O的切线。
（2）DE与DF的数量关系为：DF=2DE。理由如下：
连结AD
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，
∵AB=AC。∴∠3=∠4=∠BAC=30°
∵∠F=90°-∠BAC=90°-60°=30°， ∴∠3=∠F
∴AD=DF
∵∠4=30°，EF⊥AC，∴AD=2DE
∴DF=2DE.
（3）解：设⊙O与AC的交点为P，连结BP，则BP⊥AC，由上知BD=BC=3
∴

∴
∴
∴
∴tan∠BAC=

略