题目内容
2．
如图，点A、点E的坐标分别为 （0，3）与（1，2），以点A为顶点的抛物线记为C1：y1=-x2+n；以E为顶点的抛物线记为C2：y2=ax2+bx+c，且抛物线C2与y轴交于点P（0，$\frac{5}{2}$）．（1）分别求出抛物线C1和C2的解析式，并判断抛物线C1会经过点E吗？
（2）若抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围；
（3）在（2）的x的取值范围内，设新的函数y3=y1-y2，求出函数y3与x的函数关系式；问当x为何值时，函数y3有最大值，求出这个最大值．
分析 （1）待定系数法分别求解可得，再求出x=1时，y1的值即可判断抛物线C1是否经过点E；
（2）分别求出两函数y随x的增大而减小时x的范围可得答案；
（3）将y1、y2代入y3=y1-y2整理成一般式，再配方成顶点式可得答案．
解答 解：（1）根据题意将点A（0，3）代入y1=-x2+n，得：n=3，
∴y1=-x2+3；
∵抛物线C2的顶点坐标为（1，2），
∴设抛物线C2的解析式为y=a（x-1）2+2，
将点P（0，$\frac{5}{2}$）代入，得：a+2=$\frac{5}{2}$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C2的解析式为y2=$\frac{1}{2}$（x-1）2+2=$\frac{1}{2}$x2-x+$\frac{5}{2}$，
当x=1时，y1=-12+3=2，
∴抛物线C1经过点E；
（2）在y1=-x2+3，当x＞0时，y随x的增大而减小，
在y2=$\frac{1}{2}$（x-1）2+2中，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当0＜x＜1时，抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小；
（3）y3=y1-y2=-x2+3-（$\frac{1}{2}$x2-x+$\frac{5}{2}$）=-$\frac{3}{2}$x2+x+$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{3}$）2+$\frac{2}{3}$，
∵0＜x＜1，
∴当x=$\frac{1}{3}$时，函数y3有最大值，最大值为$\frac{2}{3}$．
点评 此题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的增减性是解本题的关键．
练习册系列答案
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14．
如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，求树高AB多少米．（结果保留根号）
如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，求树高AB多少米．（结果保留根号）
10．下列说法中，正确的是（ ）
| A． | 正分数和负分数统称为分数 | B． | 0既是整数也是负整数 | ||
| C． | 正整数、负整数统称为整数 | D． | 正数和负数统称为有理数 |