Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于点F．

(1)判断△DCE的形状；

(2)设⊙O的半径为1，且OF＝，求证：△DCE≌△OCB．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)中猜想△CDE为等腰三角形，从而需证明∠CED＝∠DCE，由已知易知∠CED＝∠DCE＝30°．(2)中欲证的两三角形均为等腰三角形，且底角均为30°，只需再找出一组对应边相等． 　　解：(1)因为AB为直径， 　　所以∠ACB＝90°． 　　因为∠ABC＝30°，所以∠BAC＝60°． 　　又因为OA＝OC，所以△AOC是正三角形． 　　因为CD是切线，所以∠OCD＝90°． 　　所以∠DCE＝180°－60°－90°＝30°． 　　因为ED⊥AB于点F，所以∠CED＝90°－∠BAC＝30°． 　　所以∠DCE＝∠CED．故△DCE为等腰三角形． 　　(2)证明：在△ABC中，因为AB＝2，AC＝AO＝1， 　　所以BC＝＝． 　　因为OF＝，所以AF＝AO＋OF＝． 　　又因为∠AEF＝30°，所以AE＝2AF＝＋1． 　　所以CE＝AE－AC＝＝BC． 　　而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝90°－60°＝30°＝∠ABC， 　　故△CDE≌△COB． 　　点评：本题是圆的切线的性质、等腰三角形的性质和全等三角形的判定的综合应用．遇到圆的切线，连接过切点的半径是重要的辅助线．