Question

已知抛物线的解析式为y=-x²+2mx+4-m²．
（1）求证：不论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点，且两交点A、B之间的距离为定值；
（2）设点P为此抛物线上一点，若△PAB的面积为8，求符合条件的所有点P的坐标（可用含m的代数式表示）
（3）若（2）中△PAB的面积为s（s＞0），试根据面积s值的变化情况，确定符合条件的点P的个数．

Answer 1

分析：（1）本题需先求出△的值，再证出△＞0，再设出A、B的坐标，然后代入公式即可求出AB的长．
（2）本题需先设出P的坐标，再由题意得出b的值，然后即可求出符合条件的所有点P的坐标．
（3）本题需分当s=8时，当0＜s＜8时，当s＞8时三种情况进行讨论，即可得出符合条件的点P的个数．

解答：解：（1）∵△=（2m）²-4×（-1）（4-m²）=16＞0，
∴不论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点．
设A（x₁，0），B（x₂，0），
则|x1-x2|=|

-b+ b2-4ac

2a

-

-b- b2-4ac

2a

|=|

b2-4ac

a

|
=|

(2m)2-4×(-1)(4-m2)

-1

|=4；

（2）设P（a，b），则由题意b=-a²+2am+4-m²，且|

1

2

×4×b|=8，
解得b=±4．
当b=4时得：a=m．
即P（m，4）；
当b=-4时得：a=m±2

2

．即P(m+2

2

，-4)或P（m-2

2

，-4）；

（3）由（2）知当s=8时，符合条件的点P有2个，
知当0＜s＜8时，符合条件的点P有4个，
当知当s＞8时，符合条件的点P有2个．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要综合应用二次函数的图象和性质以及分类讨论思想是本题的关键．