题目内容
对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（-1，n），请完成：
（1）当t=2时，求抛物线y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）的顶点坐标．
（2）判断点A是否在抛物线E上，并求出n的值．
（3）通过（2）演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，写出定点坐标．
（4）二次函数y=-3x2+5x+2是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
解：（1）将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x2-4x=2（x-1）2-2，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）；
（2）点A在抛物线E上，理由如下：
∵将x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴点A（2，0）在抛物线E上．
∵点B（-1，0）在抛物线E上，
∴将x=-1代入抛物线E的解析式中，得：n=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．
（3）∵将抛物线E的解析式展开，得：
y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4
∴抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）；
（4）不是．
∵将x=-1代入y=-3x2+5x+2，得y=-6≠6，
∴二次函数y=-3x2+5x+2的图象不经过点B．
∴二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”．
分析：（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证；根据点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值；
（3）将抛物线E展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标；
（4）将（3）中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可．
点评：本题考查的是二次函数综合题，该题通过新定义的形式考查了二次函数图象上点的坐标特点等知识，理解新名词的含义尤为关键．
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）；
（2）点A在抛物线E上，理由如下：
∵将x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，
∴点A（2，0）在抛物线E上．
∵点B（-1，0）在抛物线E上，
∴将x=-1代入抛物线E的解析式中，得：n=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．
（3）∵将抛物线E的解析式展开，得：
y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4
∴抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）；
（4）不是．
∵将x=-1代入y=-3x2+5x+2，得y=-6≠6，
∴二次函数y=-3x2+5x+2的图象不经过点B．
∴二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”．
分析：（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证；根据点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值；
（3）将抛物线E展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标；
（4）将（3）中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可．
点评：本题考查的是二次函数综合题，该题通过新定义的形式考查了二次函数图象上点的坐标特点等知识，理解新名词的含义尤为关键．
练习册系列答案
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