Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB如图放置，点A的坐标为（3，4），点P是AB边上的一点，过点P的反比例函数 与OA边交于点E，连接OP．

（1）如图1，若点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为 ，求反比例函数的解析式；
（2）如图2，过P作PC∥OA，与OB交于点C，若 ，并且△OPC的面积为 ，求OE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，过点P作PD⊥OB于点D，

∵点B的坐标为（5，0），

△OPB的面积为 ，

∴ ×5PD= ，解得PD=1，

设直线AB的解析式为

y=ax+b（a≠0），

∵A（3，4），B（5，0），

∴ ，解得 ，

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+10，

当y=1时，﹣2x+10=1，解得x= ，

∴P（ ，1），

∵点P的反比例函数y= （x＞0）上，

∴1= ，解得k= ，

∴反比例函数的解析式为：y= ；

（2）

解：如图2中，作PN⊥OB于N，AH⊥OB于H，EM⊥OB于M．

∵PC∥OA，

∴∠PCN=∠AOH，∵∠AHO=∠PNC，

∴△AHO∽△PNC，同理△EMO∽△PNC，

∵AO：AH：OH=5：4：3，

∴PC：PN：CN=5：4：3，设点点P坐标（m，4n），则CN=3n，PC=5n，

∵△EMO∽△ONC，OE=2PC，

∴EM=8n，OM=6n，E（6n，8n）

∴6n8n=m4n，

∴m=12n，

∵S△POC= ，

∴ （12n﹣3n）4n= ，

∴n= （负根已经舍弃）．

∴点E坐标（ ， ），

∴OE= ．

【解析】（1）过点P作PD⊥OB于点D，根据点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为 求出PD的长，求出直线AB的解析式，故可得出P点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；（2）如图2中，作PN⊥OB于N，AH⊥OB于H，EM⊥OB于M，由△AHO∽△PNC，△EMO∽△PNC，因为AO：AH：OH=5：4：3，所以PC：PN：CN=5：4：3，设点点P坐标（m，4n），则CN=3n，PC=5n，列方程求出n，m即可解决问题．