题目内容
在矩形ABCD中，点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，顺次连接E1F1G1H1所得的四边形我们称之为中点四边形，如图
（1）求证：四边形E1F1G1H1是菱形；
（2）设E1F1G1H1的中点四边形是E2F2G2H2，E2F2G2H2的中点四边形是E3F3G3H3…．En-1Fn-1Gn-1Hn-1的中点四边形是EnFnGnHn，那么这些中点四边形形状的变化有没有规律性？________（填“有”或“无”）若有，说出其中的规律性________；
（3）进一步：如果我们规定：矩形=0，菱形=1，并将矩形ABCD的中点四边形用f（0）表示；菱形的中点四边形用f（1）表示，由题（1）知，f（0）=1，那么f（1）=________．
（1）证明：连接AC、BD，
∵点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，
∴E1H1=
BD，同理F1G1=BD，H1G1=AC，E1F1=AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴E1H1=F1G1=H1G1=E1F1，
∴四边形E1F1G1H1是菱形．
（2）解：有；矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形．
（3）解：∵矩形的中点四边形为菱形，
即：f（0）=1，
∴菱形的中点四边形为矩形可以表示为：f（1）=0．
分析：（1）因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
（2）仔细观察，发现这两个四边形互为中点四边形．
（3）根据上题总结的规律可以得到菱形的中点四边形为矩形．
点评：本题考查了三角形的中位线的性质及特殊四边形的判定和性质．解题的关键是正确的将四边形转化为三角形并利用三角形的中位线定理求证即可．
∵点EFGH分别是边ABBCCDDA的中点，
∴E1H1=
BD，同理F1G1=BD，H1G1=AC，E1F1=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴E1H1=F1G1=H1G1=E1F1，
∴四边形E1F1G1H1是菱形．
（2）解：有；矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形．
（3）解：∵矩形的中点四边形为菱形，
即：f（0）=1，
∴菱形的中点四边形为矩形可以表示为：f（1）=0．
分析：（1）因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
（2）仔细观察，发现这两个四边形互为中点四边形．
（3）根据上题总结的规律可以得到菱形的中点四边形为矩形．
点评：本题考查了三角形的中位线的性质及特殊四边形的判定和性质．解题的关键是正确的将四边形转化为三角形并利用三角形的中位线定理求证即可．
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