Question

随着近几年经济的快速发展，人民生活水平逐步提高，市场对鱼肉的需求量逐年增大．某农场计划投资养殖鱼和生猪，根据市场调查与预测，养殖生猪的利润y₁与投资量x成正比例关系，如图①所示；养殖鱼的利润y₂与投资量x成二次函数关系，如图②所示（利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润y₁与y₂关于投资量x的函数关系式；
（2）如果农场以8万元资金投入养殖鱼和生猪，农场至少获得多少利润？农场能获取的最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）根据直线，抛物线在坐标系的位置，合理地设函数解析式，都是直线，抛物线解析式的最简形式．（2）农场以8万元资金投入养殖鱼和生猪，设养殖鱼投资t万元，利润为y万元，则养殖生猪（8-t）万元，这里的利润是两项利润的和．利用二次函数的性质，求最大值．

解答：解：（1）设y₁=kx（k≠0），
把P（1，2）坐标代入得k=2，
∴y₁=2x；
设y₂=ax²（a≠0），
把Q（2，2）代入得a=

1

2

，
∴y₂=

1

2

x²

（2）设养殖鱼投资t万元，利润为y万元，则养殖生猪（8-t）万元．
根据题意得：y=y₁+y₂=2（8-t）+

1

2

t²=

1

2

t²-2t+16=

1

2

（t-2）²+14（0≤t≤8）
当t=2时，y_最小值=14；当t=8时，y_最大值=32
答：农场至少获得利润14万元；农场能获取的最大利润是32万元．

点评：所求二次函数自变量t有一定限制，图象也只是抛物线的一部分，求最大（最小）利润，需要在自变量取值范围内．