题目内容
【题目】已知直线a:y=2x+4分别与x、y轴交于点A、C.将直线a竖直向下平移7个单位后得到直线b,直线b交直线AD:y=x+2于点E.
(1)若点Q为直线x轴上一动点,是否存在点Q,使△QDE的周长最小,若存在,求△QDE周长的最小值及点Q的坐标:
(2)已知点M是第一象限直线a上的任意一点,过点M作直线c⊥x轴,交直线b于点N,H为直线AD上任意一点,是否存在点M,使得△MNH成为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点H的坐标.
【答案】(1)存在,Q(,0),∴△DEQ的周长的最小值为5;(2)存在,满足条件的点H的坐标为(12,14)或(,).
【解析】
(1)如图1中,存在.首先确定点D,点E的坐标,作点D关于x轴的对称点D′,连接ED′交x轴于Q,连接DQ,此时△DEQ的周长最小.
(2)如图2中,存在.当点N与E(5,7)重合时,作MH∥x轴交直线y=x+2于H,此时△MNH是等腰直角三角形,取EH的中点H′,连接MH′,此时△MNH′也是等腰直角三角形.
解:(1)存在.
理由:∵直线y=2x+4分别与x、y轴交于点A、C,
令x=0,得到y=4,令y=0,得到x=﹣2,
∴A(﹣2,0),C(0,4),
∵直线y=2x+4竖直向下平移7个单位后得到直线b,
∴直线b的解析式为y=2x﹣3,
∵直线y=x+2交x轴于A,交y轴于D,
令x=0,得到y=2,
∴D(0,2),
由,解得,
∴E(5,7),
如图1中,作点D关于x轴的对称点D′,连接ED′交x轴于Q,连接DQ,此时△DEQ的周长最小.
∵D′(0,﹣2),E(5,7),
∴直线DE的解析式为y=x﹣2,
∴Q(,0),
,,
∴△DEQ的周长的最小值=DE+DQ+EQ=DE+QD′+QE=DE+ED′=5;
(2)如图2中,存在.
理由:当点N与E(5,7)重合时,作MH∥x轴交直线y=x+2于H,此时△MNH是等腰直角三角形,取EH的中点H′,连接MH′,此时△MNH′也是等腰直角三角形,
∵M(5,14),MH∥x轴,
∴H(12,14),
∵E(5,7),EH′=HH′,
∴H′(,).
综上所述,满足条件的点H的坐标为(12,14)或(,).