题目内容

【题目】已知直线ay2x+4分别与xy轴交于点AC.将直线a竖直向下平移7个单位后得到直线b,直线b交直线ADyx+2于点E

1)若点Q为直线x轴上一动点,是否存在点Q,使△QDE的周长最小,若存在,求△QDE周长的最小值及点Q的坐标:

2)已知点M是第一象限直线a上的任意一点,过点M作直线cx轴,交直线b于点NH为直线AD上任意一点,是否存在点M,使得△MNH成为等腰直角三角形?若存在,请直接写出点H的坐标.

【答案】1)存在,Q0),∴△DEQ的周长的最小值为5;(2)存在,满足条件的点H的坐标为(1214)或().

【解析】

1)如图1中,存在.首先确定点D,点E的坐标,作点D关于x轴的对称点D,连接EDx轴于Q,连接DQ,此时△DEQ的周长最小.

2)如图2中,存在.当点NE57)重合时,作MHx轴交直线yx+2H,此时△MNH是等腰直角三角形,取EH的中点H,连接MH,此时△MNH也是等腰直角三角形.

解:(1)存在.

理由:∵直线y2x+4分别与xy轴交于点AC

x0,得到y4,令y0,得到x=﹣2

A(﹣20),C04),

∵直线y2x+4竖直向下平移7个单位后得到直线b

∴直线b的解析式为y2x3

∵直线yx+2x轴于A,交y轴于D

x0,得到y2

D02),

,解得

E57),

如图1中,作点D关于x轴的对称点D,连接EDx轴于Q,连接DQ,此时△DEQ的周长最小.

D0,﹣2),E57),

∴直线DE的解析式为yx2

Q0),

∴△DEQ的周长的最小值=DE+DQ+EQDE+QD′+QEDE+ED5

2)如图2中,存在.

理由:当点NE57)重合时,作MHx轴交直线yx+2H,此时△MNH是等腰直角三角形,取EH的中点H,连接MH,此时△MNH也是等腰直角三角形,

M514),MHx轴,

H1214),

E57),EHHH

H).

综上所述,满足条件的点H的坐标为(1214)或().

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