Question

如图，已知正方形ABCD的边长是3，点E、F分别在边BC、CD上，且CE=DF=1，AE、BF交于点O．下列结论：①∠BOE=90°，②BO=OF，③tan∠OBA=，④S_△ABO=S_{四边形OECF}，其中正确结论的个数是

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，然后求出∠2+∠3=90°，再求出∠BOE=90°，判断出①正确；利用勾股定理列式求出AE，再利用△ABE的面积列式求出BO，然后求出OF的长度，判断出②错误；求出∠OBA=∠3，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解，从而判断出③正确；再根据全等三角形的面积相等求出S_△ABO=S_{四边形OECF}，判断出④正确．
解答：解：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵CE=DF=1，
∴BE=CF=3-1=2，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=180°-90°=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BOE=180°-90°=90°，故①正确；
由勾股定理得，AE==，
S_△ABE=AB•BE=AE•BO，
即×3×2=×BO，
解得BO=，
∵△ABE≌△BCF，
∴BF=AE=，
∴OF=BE-BO=-=，
∴BO≠OF，故②错误；
∵∠2+∠3=90°，∠OBA+∠2=90°，
∴∠OBA=∠3，
∴tan∠OBA=tan∠3==，故③正确；
∵△ABE≌△BCF，
∴S_△ABE=S_△BCF，
∴S_△ABE-S_△BOE=S_△BCF-S_△BOE，
即S_△ABO=S_{四边形OECF}，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选C．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．