Question

观察下列各式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…
（1）请依据以上的式子填写下列各题：
①

1

8×9

=

1

8

-

1

9

；
②

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．（n为正整数）
（2）根据上面各式所归纳的规律计算下题：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

+

1

2009×2010

；
（3）拓展延伸：
如果a=1，b=3，计算下题：

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+98)(b+98)

．

Answer 1

分析：（1）由于：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，利用题目规律即可求出结果；
（2）首先把题目利用（1）的结论变为：1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

，然后利用有理数的加减混合运算法则计算即可求解；
（3）把a=1，b=3代入，得到原式=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

99×101

，再变形为

1

2

×（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

99

-

1

101

），然后利用有理数的混合运算法则计算即可求解．

解答：解：（1）①

1

8×9

=

1

8

-

1

9

；
②

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

 （2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2008×2009

+

1

2009×2010

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

；

（3）当a=1，b=3时，

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+98)(b+98)

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

99×101

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

99

-

1

101

）
=

1

2

×（1+

1

2

-

1

100

-

1

101

）
=

1

2

×

14949

10100

=

14949

20200

．
故答案为：

1

8

-

1

9

；

1

n

-

1

n+1

．

点评：此题主要考查了有理数的混合运算，解题时首先正确理解题目中隐含的规律，然后利用规律把题目变形，从而使计算变得比较简便．