Question

如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF=PF-AP，PF=PD==，则AM=AF=-1，DM=AD-AM=3-；
（2）根据（1）中的数据得：=，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
解答：解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=-1，
DM=AD-AM=3-．
故AM的长为-1，DM的长为3-；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于=，
∴点M是AD的黄金分割点．
点评：此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．