Question

如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.

    ⑴当 时，求弦PA、PB的长度；

⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？

Answer 1

解：⑴∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l.

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB.

∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°.

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB. ∴.

∵PC=，AB=4，∴.

∴在Rt△APB中，由勾股定理得：.

⑵过O作OE⊥PD，垂足为E.

∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD.

在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2.

∴.

∴.

∵，∴当时，有最大值，最大值是2.