题目内容

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），点D在y轴的负半轴上，且点D的坐标为（0，-9），
①求二次函数的解析式．
②点E在①中的抛物线上，四边形ABCE是以AB为一底边的梯形，求点E的坐标．
③在①、②成立的条件下，过点E作直线EF⊥OA，垂足为F，直线EF与线段AD相交于点G，在抛物线上是否存在点P，使直线PG与y轴相交所成的锐角等于梯形ABCE的底角？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：①y=ax²+bx+c的图象经过A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），三点，
$\text{[math]}$
解得：a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，c=-2．
∴y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-2．

②由题意和图象可知CE∥AB，
∴E点的纵坐标为-2，
∴-2= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-2．
即x²+2x=0，
∴x₁=0（舍），x₂=-2，
∴E点的坐标为（-2，-2）；

③答：存在．
如图所示：假定在抛物线上存在一点P，使直线PG与y轴相交所成的锐角等于梯形ABCE的底角，即点P是抛物线与直线AD的交点．
设直线AD的解析表达式为y=kx+b，并设直线AD与FG交于点Q，
把点A（-3，0），点Q（0，-9）代入y=kx+b中，

得 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ．
∴直线AD的解析表达式为y=-3x-9．
设点P（x₀，y₀），则有y₀=-3x₀-9．③
把③代入②，得 $\text{[math]}$ x₀²+ $\text{[math]}$ x₀=-x₀-2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ x₀²+（ $\text{[math]}$ +1）x₀+2 $\text{[math]}$ =0，
即x₀²+2（ $\text{[math]}$ +1）x₀+4 $\text{[math]}$ =0．
∴（x₀+2 $\text{[math]}$ ）（x₀+2）=0．
解得x₀=-2 $\text{[math]}$ 或x₀=-2．
当x₀=-2 $\text{[math]}$ 时，y=-x₀-2 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ =0；
当x₀=-2时，y₀=-x₀-2 $\text{[math]}$ =2-2 $\text{[math]}$ ．
∴在抛物线上存在点P₁（-2 $\text{[math]}$ ，-2），P₂（-2，2-2 $\text{[math]}$ ），使直线PG与y轴相交所成的锐角等于梯形ABCE的底角．
分析：①已知函数的图象经过A，B，C三点，把三点的坐标代入解析式就可以得到一个三元一次方程组，就可以求出函数的解析式；
②由题意和图象可知CE∥AB，可求的E点的纵坐标为-2，把-1代入y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-2．可求的点E横坐标．
③由条件可知P点必为直线AD与抛物线的交点，先求出直线AD的解析式，然后联立抛物线的解析式可得出P点坐标．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．综合性强，能力要求极高．