题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)当0<x<3时,求y的取值范围;
(3)点P为抛物线上一点,若S△PAB=10,求出此时点P的坐标.
【答案】
(1)解:把A(﹣1,0)、B(3,0)分别代入y=x2+bx+c中,
得: ,解得: ,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴顶点坐标为(1,﹣4)
(2)解:由图可得当0<x<3时,﹣4≤y<0
(3)解:∵A(﹣1,0)、B(3,0),
∴AB=4.
设P(x,y),则S△PAB= AB|y|=2|y|=10,
∴|y|=5,
∴y=±5.
①当y=5时,x2﹣2x﹣3=5,解得:x1=﹣2,x2=4,
此时P点坐标为(﹣2,5)或(4,5);
②当y=﹣5时,x2﹣2x﹣3=﹣5,方程无解;
综上所述,P点坐标为(﹣2,5)或(4,5)
【解析】(1)由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式,再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标;(2)结合函数图象以及A、B点的坐标即可得出结论;(3)设P(x,y),根据三角形的面积公式以及S△PAB=10,即可算出y的值,代入抛物线解析式即可得出点P的坐标.
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