Question

（2012•遵义）如图，△OAC中，以O为圆心，OA为半径作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足为O，连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．
（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OA=5，OD=1，求线段AC的长．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知
∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°．所以线段AC是⊙O的切线；
（2）根据“等角对等边”可以推知AC=DC，所以由图形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切线的性质可以在Rt△OAC中，根据勾股定理来求AC的长度．

解答：解：（1）线段AC是⊙O的切线；
理由如下：∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（对顶角相等），
∴∠BDO=∠CAD（等量代换）；
又∵OA=OB（⊙O的半径），
∴∠B=∠OAB（等边对等角）；
∵OB⊥OC（已知），
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，
∴线段AC是⊙O的切线；

（2）设AC=x（x＞0）．
∵∠CAD=∠CDA（已知），
∴DC=AC=x（等角对等边）；
∵OA=5，OD=1，
∴OC=OD+DC=1+x；
∵由（1）知，AC是⊙O的切线，
∴在Rt△OAC中，根据勾股定理得，
OC²=AC²+OA²，即
（1+x）²=x²+5²，
解得x=12，即AC=12．

点评：本题综合考查了勾股定理、切线的判定与性质．欲证某线是圆的切线，只需证明连接圆心与此线过圆上的点的线段（圆的半径）与该直线垂直即可．