Question

已知抛物线y=mx²-（m-5）x-5（m＞0），与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），（x₁＜x₂），与y轴交于点C且AB=6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙M过A、B、C三点，求⊙M的半径，并求M到直线BC的距离；
（3）抛物线上是否存在点P，过点P作PQ⊥x轴于点Q，使△PBQ被直线BC分成面积相等的两部分，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式，可求出A、B点的坐标，根据AB=6，即可求出m的值，由此确定抛物线的解析式；
（2）由于圆心同时经过A、B，则圆心必在抛物线的对称轴上，由此可得到点M的横坐标，设出M点的纵坐标，B、C的坐标易求得，可用平面直角坐标系中两点间的距离公式求出MB²、MC²的长，由于MB、MC都是⊙M的半径，则上面所得两条线段平方的表达式相等，由此可求出M点的坐标，进而可求出⊙M的半径，而M到直线BC的距离可由勾股定理和垂径定理求得；
（3）假设存在符合条件的P点，设PQ与直线BC的交点为H，如果BC将△PBQ分成面积相等的两部分，那么QH=PH=

1

2

PQ（△BHQ、△BPH同高，若面积相等则底边相等），可先求出直线BC的解析式，设出P点横坐标，根据直线BC和抛物线的解析式表示出H、P的纵坐标，从而得到QH、PQ的长，再根据QH、PQ的数量关系列方程求出点P的坐标．

解答：解：（1）y=mx²-（m-5）x-5（m＞0）
=（x-1）（mx+5）=m（x-1）（x+

5

m

）；
∴x₁=-

5

m

，x₂=1；
∴|AB|=1+

5

m

=6，m=1；
∴y=x²+4x-5；A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）；

（2）圆心M的坐标为（-2，x），且MB=MC；
（-2-1）²+x²=4+（x+5）²，x=-2；
设⊙M的半径为r，
∴r²=x²+9=4+9=13；
∴r=

13

，BC=

26

；
∴d=

r2-( 1 2 BC)2

=

13- 26 4

=

26

2

；

（3）假设存在点P（x_P，y_P），
∵P在抛物线上，
∴y_P=x_P²+4x_P-5，Q（x_P，0）；
∵直线BC的方程为y=5x-5，而直线PQ的方程为x=x_P，
∴设BC与PQ的交点为H，H（x_P，5x_P-5）；
∴

HQ

PQ

=

1

2

，
∴

5xP-5

xP2+4xP-5

=

1

2

；
∴x_P=1（舍去）或x_P=5；
∴存在点P（5，40）．

点评：此题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法、二次函数解析式的确定、勾股定理、垂径定理的应用、三角形面积的求法等重要知识点，综合性强，难度较大．