Question

如图：菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=a．求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC的长；
（3）菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析：①连接BD，可证△ABD是等边三角形，进而得出∠ABC=120°；②可根据勾股定理先求得AC的一半，再求AC的长；③根据菱形的面积公式：两条对角线的积的一半，计算即可．

解答：解：（1）连接BD，
∵E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AD=BD（等腰三角形三线合一逆定理）
又∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°．
∴∠ABC=120°（菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角）．

（2）设AC与BD相交于O
∴OB=

a

2

．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=a，
根据勾股定理可得OC=

a2-( a 2 )2

=

3 a

2

，
∴AC=

3

a．

（3）菱形ABCD的面积=

3

a×a×

1

2

=

3

2

a2．

点评：本题考查了菱形的性质、勾股定理和等边三角形的判定．