Question

如图1，有一个直角三角形ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm，AD平分∠BAC，点E在斜边AB上且AE=AC．
（1）△BED是何特殊三角形？说明理由；
（2）求线段CD的长．
（2）如图2，若AP²+PC²=2PB²，请说明点P必在对角线AC上．

Answer 1

分析：（1）根据AE=AC，可判定△ACD≌△AED，由∠C=90°，得∠AED=90°，从而判断出△BED是直角三角形；
（2）△BDE∽△BAC，利用相似比求得线段CD的长．
（3）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．

解答：解：（1）△BED是直角三角形，理由是：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
∵AE=AC，AD为公共边，
∴△ACD≌△AED，
∴∠AED=∠C=90°，
∴∠BED=90°，
∴△BED是直角三角形；

（2）∵△ACD≌△AED，
∴DC=DE，∠B+∠BDE=90°，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠BDE=∠BAC，
∴△BDE∽△BAC，
∴

DE

AC

=

BD

AB

，
∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∴

CD

6

=

8-CD

10

，
解得CD=3（cm）．

（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．
得：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=P′C²+PC²=2PB²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C，
∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．

点评：本题考查了证明两个三角形全等和相似，以及勾股定理的应用．还综合了旋转及三角形、正方形等相关知识，难度较大．