Question

●观察计算
当a=5，b=3时，

a+b

2

与

ab

的大小关系是

 

．
当a=4，b=4时，

a+b

2

与

ab

的大小关系是

 

．
●探究证明
如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD⊥AB于D，设AD=a，BD=b．
（1）分别用a，b表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出

a+b

2

与

ab

的大小关系是：

 

．
●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

Answer 1

分析：●观察计算：分别代入计算即可得出

a+b

2

与

ab

的大小关系；
●探究证明：
（1）由于OC是直径AB的一半，则OC易得．通过证明△ACD∽△CBD，可求CD；
（2）分a=b，a≠b讨论可得出

a+b

2

与

ab

的大小关系；
●实践应用：通过前面的结论长方形为正方形时，周长最小．

解答：解：●观察计算：

a+b

2

＞

ab

，

a+b

2

=

ab

．
●探究证明：
（1）∵AB=AD+BD=2OC，
∴OC=

a+b

2

∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD．
∴△ACD∽△CBD．
∴

AD

CD

=

CD

BD

．
即CD²=AD•BD=ab，
∴CD=

ab

．

（2）当a=b时，OC=CD，

a+b

2

=

ab

；
a≠b时，OC＞CD，

a+b

2

＞

ab

．

●结论归纳：

a+b

2

≥

ab

．
●实践应用
设长方形一边长为x米，则另一边长为

1

x

米，设镜框周长为l米，则l=2(x+

1

x

)≥4

x• 1 x

=4．
当x=

1

x

，即x=1（米）时，镜框周长最小．
此时四边形为正方形时，周长最小为4米．

点评：本题综合考查了几何不等式，相似三角形的判定与性质，通过计算和证明得出结论：

a+b

2

≥

ab

是解题的关键．