(2013•下关区一模)如图.已知矩形ABCD中.A .C .点E是直线AB与x轴的交点.抛物线y=ax2+b x-3过点E.且顶点F的横坐标为1.点M是直线CD与x轴的交点．(1)求a.b的值,(2)请你探索在矩形ABCD的四条边上.是否存在点P.使得△AFP是等腰三角形?如果存在.求出点P的坐标,如果不存在.请说明理由,(3)抛物线上是否存在点Q在∠EMC的平分线上?如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•下关区一模）如图，已知矩形ABCD中，A （3，2），B （3，-4），C （5，-4），点E是直线AB与x轴的交点，抛物线y=ax²+b x-3过点E，且顶点F的横坐标为1，点M是直线CD与x轴的交点．
（1）求a，b的值；
（2）请你探索在矩形ABCD的四条边上，是否存在点P，使得△AFP是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）抛物线上是否存在点Q在∠EMC的平分线上？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析：（1）先求出E点坐标，再由抛物线y=ax²+bx-3过点E，且顶点F的横坐标为1，列出关于a，b的方程组，解方程组即可求出a，b的值；
（2）当三角形AFP是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：
①PA=PF，又分两种情况，（i）P在AB边上；（ii）P在CD边上．根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可；
②AF=AP，则点P与点C重合；
③FA=FP，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可；
（3）设Q点的坐标为（x，x²-2x-3），则x＜5，由点Q在∠EMC的平分线上即点Q到x轴和到直线CD的距离相等，列出方程-（x²-2x-3）=5-x，解方程求出x的值，即可得到点Q的坐标．

解答：解：（1）A （3，2），B （3，-4），点E是直线AB与x轴的交点，
∴E点坐标为（3，0）．
∵抛物线y=ax²+bx-3过点E，且顶点F的横坐标为1，
∴

9a+3b-3=0

，解得

a=1

b=-2

，
所以a=1，b=-2；

（2）在矩形ABCD的四条边上，存在点P，使得三角形AFP是等腰三角形．理由如下：
①当PA=PF时，点P在线段AF的垂直平分线上．
（i）设P₁是线段AF的垂直平分线与AB的交点，设BP₁=x，
∵P₁A²=P₁F²，
∴（6-x）²=x²+2²，解得x=

，
∴点P的坐标为（3，-

）；
（ii）设P₂是线段AF的垂直平分线与CD的交点，设CP₂=y，
∵P₂A²=P₂F²，
∴（6-y）²+2²=y²+4²，解得y=2，

∴点P的坐标为（5，-2）；
②当AF=AP时，点P与点C重合，
此时点P的坐标为（5，-4）；
③当FA=FP时，设CP=m，
∵FA²=FP²，
∴6²+2²=m²+4²，解得m=2

，
∴点P的坐标为（5，2

-4）；
综上可知，点P的坐标为（3，-

）或（5，-2）或（5，-4）或（5，2

-4）；

（3）抛物线上存在点Q在∠EMC的平分线上，理由如下：
由（1）得y=x²-2x-3，设Q点的坐标为（x，x²-2x-3），则x＜5．
点Q在∠EMC的平分线上即点Q到x轴和到直线CD的距离相等，
所以-（x²-2x-3）=5-x，
整理得，x²-3x+2=0，
解得x=1或2，
所以点Q的坐标为（1，-4）或（2，-3）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，角平分线的判定，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．