Question

（2013•顺义区二模）已知抛物线y=3x²+mx-2
（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．
（2）若m为整数，当关于x的方程3x²+mx-2=0的两个有理根在-1与

4

3

之间（不包括-1、

4

3

）时，求m的值．
（3）在（2）的条件下．将抛物线y=3x²+mx-2在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G，再将图象G向上平移n个单位，若图象G与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围

11

12

＜n＜3

．

Answer 1

分析：（1）利用根的判别式大于0证明即可；
（2）用含有m的代数式表示方程的两个根，然后列出不等式组，求解得到m的取值范围，再根据方程的根是有理根求出m的值即可；
（3）求出抛物线顶点翻折后的对应点的坐标，然后根据有4个交点确定出平移距离，从而得解．

解答：（1）证明：△=b²-4ac=m²-4×3×（-2）=m²+24，
∵m²≥0，
∴m²+24≥24，
∴无论m为任何实数，方程3x²+mx-2=0总有两个不相等的实数根，
∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）解：方程3x²+mx-2=0中，a=3，b=-m，c=-2，
x=

-b± b2-4ac

2a

=

-m± m2+24

6

，
∵两个有理根在-1与

4

3

之间，
∴

-m- m2+24 6 ＞-1① -m+ m2+24 6 ＜ 4 3 ②

，
由不等式①得，m+

m2+24

＜6，

m2+24

＜6-m，
两边平方得，m²+24＜36-12m+m²，
解得m＜1，
由不等式②得，-m+

m2+24

＜8，

m2+24

＜8+m，
两边平方得，m²+24＜64+16m+m²，
解得m＞-

5

2

，
∴不等式组的解集是-

5

2

＜m＜，
∵m为整数，
∴m=-2、-1、0，
又∵方程的根是有理数根，
∵m²+24是完全平方式，
∴m=-1；

（3）解：m=-1时，抛物线为y=3x²-x-2，
∵-

b

2a

=-

-1

2×3

=

1

6

，

4ac-b2

4a

=

4×3×(-2)-(-1)2

4×3

=-

25

12

，
∴原抛物线的顶点坐标为（

1

6

，-

25

12

），
沿x轴翻折后顶点的对应点的坐标为（

1

6

，

25

12

），
∵3-

25

12

=

11

12

，3-0=3，
∴

11

12

＜n＜3．
故答案为：

11

12

＜n＜3．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了根的判别式与根的情况，不等式的求解，平移变换，（2）难点在于整理为关于m的一元一次不等式，（3）关键在于求出原抛物线的顶点坐标．