Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中点，过点E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，OC在x轴正半轴上，点A、B在第一象限内。

（1）   求点E的坐标；

（2）   点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO交折线ABC于点N，

连结PN。设PE=x.△PMN的面积为S。

①  求S关于x的函数关系式；

②  △PMN的面积是否存在最大值，若不存在，请说明理由。若存在，求出面积的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）。现在开始操作：固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止（如图2）。设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′;探究：在运动过程中，等腰梯形ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积y与时间t的函数关系式。

 

Answer 1

【答案】

（1）E（1，）                    

（2）①当0≤X≤1时，S=                

     当1＜X≤4时，S=-    

②若0≤X≤1时，S=             

若1＜X≤4时，S=-

∵-＜0 ∴S随X的增大而减小

∴S不存在最大值                    

∴综上所述，当0≤X≤1时，S存在最大值，最大值为  

（3）当0≤t≤2时，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形内部，这时重叠部分的面积即为直角梯形面积，y=×（2+3）× =

当2＜X≤4时，y=×（4-t+5-t）× =-  t+

当4＜X≤5时，y=(5-t)×× (5-t)= （5-t）²

【解析】本试题主要是考查了三角形面积的表示以及点的坐标的求解和函数关系式等知识的综合运用。

（1）因为在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中点，过点E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.现把梯形ABCO放置在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，OC在x轴正半轴上，点A、B在第一象限内。故利用平行可知点E的坐标；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交OC于点M，过M作MN∥AO交折线ABC于点N，连结PN。设PE=x.△PMN的面积为S，根据点的位置，分别讨论得到S关于x的函数关系式；然后根据解析时分析其最值。

（3）因为固定等腰梯形ABCO，将直角梯形EDGH以每秒1个单位的速度沿OC方向向右移动，直到点D与点C重合时停止，设运动时间为t秒，运动后的直角梯形为E′D′G′H′;可以知道在运动过程中，等腰梯ABCO与直角梯形E′D′G′H′重合部分的面积即为直角梯形面积，可以得到y与时间t的函数关系式