Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．

（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）BD是⊙O的切线，理由见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OB，由已知条件易证∠OBD=90°，即可证明BD是⊙O的切线；（2）过点D作DG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由两角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．

试题解析：（1）证明：连接OB，

∵OB=OA，DE=DB，

∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，

又∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，

∴∠OBA+∠ABD=90°，

∴OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切线；

（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，

∵DE=DB，

∴EG=BE=5，

∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，

∴∠GDE=∠A，

∴△ACE∽△DGE，

∴sin∠EDG=sinA==，即CE=13，

在Rt△ECG中，

∵DG==12，

∵CD=15，DE=13，

∴DE=2，

∵△ACE∽△DGE，

∴=，

∴AC=DG=，

∴⊙O的直径2OA=4AD=．