Question

如图11所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

1.求A、B、C三点的坐标

2.过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

3.在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

 

Answer 1

 

1.令，得   解得

令，得

∴ A  B  C    （2分）

2.∵OA=OB=OC=   ∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，       ∴PAB=

     过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形

令OE=，则PE= ∴P

∵点P在抛物线上 ∴  

解得，（不合题意，舍去）

     ∴PE=··························· 4分）

∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE

=  6分）

3.假设存在

∵PAB=BAC =   ∴PAAC

∵MG轴于点G，   ∴MGA=PAC =

在Rt△AOC中，OA=OC=  ∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE=  ∴AP=  ················· 7分）

设M点的横坐标为，则M

① 点M在轴左侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时，有=

∵AG=，MG=

即 

解得（舍去）（舍去）

(ⅱ) 当MAG PCA时有=

即

解得：（舍去） 

∴M ························· （10分）

②  点M在轴右侧时，则 

(ⅰ) 当AMG PCA时有=

∵AG=，MG=     

∴   

解得（舍去）   

     ∴M 

(ⅱ) 当MAGPCA时有= 

即

解得：（舍去）    

∴M

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似

M点的坐标为，，     （13分）

解析:略