Question

12、对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+c=0，方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根；
②若方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx²+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一个根，则一定有b²-4ac=（2am+b）²成立，其中正确的只有（　　）

A、①②

B、②③

C、③④

D、①②④

Answer 1

分析：①根据根的判别式即可作出判断；
②方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b²-4ac＞0，判断方程cx²+bx+a=0也一定有两个不等的实数根，只要证明方程的判别式的值大于0即可；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一个根，则代入即可作出判断；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一个根，即方程有实根，判别式△≥0，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．

解答：解：①因为a+c=0，a≠0，所以①a、c异号，所以△=b²-4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根；
②若方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b²-4ac＞0，所以方程cx²+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一个根，当c=0时，ac+b+1=0不一定成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一个根，所以有am²+bm+c=0，即am²=-（bm+c），而（2am+b）²=4a²m²+4abm+b²=4a[-（bm+c）]+4abm+b²=-4abm-4ac+b²=b²-4ac．
所以①②④成立．
故选D

点评：本题是对根的判别式与一元二次方程的综合考查，试题在求解的过程中可以利用方程解的定义以及恒等变形求解．