题目内容

九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．
（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，求∠α的度数
（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竹竿GM长1米时离地面的高度MN为0.6米，求护坡石坝的垂直高度AH长
（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处有一棵大树PD，测得大树的影子长CP为9米，点P到护坡石坝底部B的距离为3米，如果利用（1）、（2）中得到的结论，求出大树PD的高度．
（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3.0 ）

分析：（1）根据等腰三角形的性质得∠BFE=∠BEF=36°，再利用三角形外角性质得∠α=∠BFE+∠BEF，即可得到∠α=72°；
（2）由NM⊥GB，AH⊥GB易证得Rt△GMN∽Rt△GAH，则MN：AH=GM：GA，把GA=5m，GM=1m，MN=0.6m代入即可得到AH=3m；
（3）在Rt△ABH中，∠α=72°，AH=3，根据正切的定义得tanα=

，即tan72°=

，可求出BH，则得到PH=4，又DC∥AP，易证得Rt△DCP∽Rt△APH，
得到DP：AH=PC：PH，即DP：3=9：4，即可计算出DP．

解答：解：（1）∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=36°，
而∠α=∠BFE+∠BEF，
∴∠α=72°；

（2）∵NM⊥GB，AH⊥GB，
∴∠GNM=∠GHA=90°，
而∠G公共，
∴Rt△GMN∽Rt△GAH，
∴MN：AH=GM：GA，
而GA=5m，GM=1m，MN=0.6m，
∴0.6：AH=1：5，
∴AH=3m；

（3）在Rt△ABH中，∠α=72°，AH=3，
∴tanα=

，即tan72°=

，
∴BH=

3.0

=1，
∴PH=PB+BH=3+1=4，
∵DC∥AP，
∴∠DCP=∠APH，
∴Rt△DCP∽Rt△APH，
∴DP：AH=PC：PH，即DP：3=9：4，
∴PD=

=6.75，
∴大树PD的高度为6.75m．

点评：本题考查了相似三角形的应用：把实物图转化为几何图形，然后根据有两组内角分别对应相等的三角形相似得到相似三角形，再利用其性质得到对应相等的相似比，从而求出未知线段．也考查了锐角三角形函数的定义．