Question

如图（1），AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB，点P是射线AT上的一个动点（P与A不重合），PC与⊙O相切于C，过C作CE⊥AB于E，连接BC并延长BC交AT于点D，连接PB交CE于F．
（1）请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；
（2）请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明；
（3）设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF=

1

4

R时，求∠APC的度数，并在图（2）中作出点P．（要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

Answer 1

（1）如图，连接AC，
∵AT⊥AB，AB是⊙O的直径
∴AT是⊙O的切线
又PC是⊙O的切线
∴PA=PC
∴∠PAC=∠PCA
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠PAC+∠ADC=90°，∠PCA+∠PCD=90°
∴∠ADC=∠PCD
所以PD=PC=PA；

（2）由（1）知PD=PA
∴△ABD被PB分成面积相等的两个三角形
∵AT⊥AB，CE⊥AB
∴AT∥CE
∴CF：PD=BF：BP，EF：PA=BF：BP
所以CF：PD=EF：PA
所以CF=EF
可见△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形；

（3）由（1）知PA=PC=PD
∴PA是△ACD的外接圆的半径，即PA=R
由（2）知，CF=EF，而CF=

1

4

R
∴EF=

1

4

PA
所以

EF

PA

=

1

4

，
∵EF∥AT
∴

BE

AB

=

EF

PA

=

1

4

∴CE=

3

BE
在Rt△ACE中
∵tan∠CAE=

3

3

∴∠CAE=30°
∴∠PAC=90°-∠CAE=60°
而PA=PC
∴△PAC是等边三角形
∴∠APC=60°
P点的作图方法见图．