Question

已知抛物线y=-x²+2mx-m²-m+2．
（1）判断抛物线的顶点与直线L：y=-x+2的位置关系；
（2）设该抛物线与x轴交于M、N两点，当OM•ON=4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式；
（3）直线L交x轴于点A，（2）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=-x²+2mx-m²-m+2=-（x-m）²-m+2，得出顶点坐标代入一次函数解析式即可；
（2）利用已知得出x₁x₂=m²+m-2，|m²+m-2|=4，进而求出m的值，再利用根的判别式得出m的取值范围，进而求出；
（3）分别利用点P₁到直线L的距离P₁Q₁为a，以及点P₂到直线L的距离P₂Q₂为b求出即可．

解答：解：（1）由抛物线y=-x²+2mx-m²-m+2=-（x-m）²-m+2，
得顶点坐标为（m，-m+2），显然满足y=-x+2
∴抛物线的顶点在直线L上．

（2）设M（x₁，0），N（x₂，0），且x₁＜x₂．
由OM•ON=4，OM≠ON，得|x₁•x₂|=4．
∵x₁x₂=m²+m-2，∴|m²+m-2|=4．
当m²+m-2=4时，m₁=2，m₂=-3
当m²+m-2=-4时，?△＜0，此方程无解，
∵△₁=（2m）²-4（m²+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．
∴m＜2．
故取m=-3．
则抛物线的解析式为y=-x²-6x-4．

（3）抛物线y=-x²-6x-4的对称轴为x=-3，顶点（-3，5）．
依题意，∠CAB=∠ACB=45°．
若点P在x轴的上方，设P₁（-3，a）（a＞0），
则点P₁到直线L的距离P₁Q₁为a（如图），
∴△CP₁Q₁是等腰直角三角形．
∴a+

2

a=5，a=5

2

-5．
∴P₁（-3，5

2

-5)．
若点P在x轴的下方，设P₂（-3，-b）（b＞0），
则点P₂到直线L的距离P₂Q₂为b（如图），
同理可得△CP₂Q₂为等腰直角三角形，
∴b+5=

2

b，b=5

2

+5．
∴P₂（-3，-5

2

-5)．
∴满足条件的点有两个，
即（-3，5

2

-5）和（-3，-5

2

-5）．

点评：此题主要考查了二次函数顶点坐标求法以及一元二次方程的解法和等腰直角三角形的性质等知识，注意分类讨论思想的应用以及数形结合是解决问题的关键．