题目内容
（1）已知：如图1，△ABC为正三角形，点M为BC边上任意一点，点N为CA边上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，试求∠BQM的度数．
（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD（如图2），点M为BC上任意一点，点N为CD边上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，那么∠BQM等于多少度呢？说明理由．
（3）如果将（1）中的“正三角形”改为正五边形…正n边形（如图3），其余条件都不变，请你根据（1）、（2）的求解思路，将你推断的结论填入下表：（注：正多边形的各个角都相等）
（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD（如图2），点M为BC上任意一点，点N为CD边上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，那么∠BQM等于多少度呢？说明理由．
（3）如果将（1）中的“正三角形”改为正五边形…正n边形（如图3），其余条件都不变，请你根据（1）、（2）的求解思路，将你推断的结论填入下表：（注：正多边形的各个角都相等）
| 正多边形 | 正五边形 | … | 正n边形 |
| ∠BQM的度数 | … |
分析：（1）根据正三角形的性质得出∠ABC=∠C=60°，AB=BC，再根据BM=CN，证出△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，即可得出∠BQM的值．
（2）根据正方形的性质得出∠ABC=∠C=90°，AB=BC，同（1）得出∠BQM的值．
（3）根据正五边形以及多边形的性质证出∠ABC=∠C的度数，再同（1）证出△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，即可求出∠BQM的值．
（2）根据正方形的性质得出∠ABC=∠C=90°，AB=BC，同（1）得出∠BQM的值．
（3）根据正五边形以及多边形的性质证出∠ABC=∠C的度数，再同（1）证出△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，即可求出∠BQM的值．
解答：解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=60°
∴∠BQM=60°．
（2）∵ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠ABN+∠BAM，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=90°
（3）∵ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠C=108°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠ABN+∠BAM，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=108°，
同理可证：当图形是正n边形时，∠BQM的度数是：
；
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵
|
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBQ+∠ABQ=∠ABC=60°
∴∠BQM=60°．
（2）∵ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵
|
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠ABN+∠BAM，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=90°
（3）∵ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠C=108°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，
∵
|
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠ABN+∠BAM，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=108°，
同理可证：当图形是正n边形时，∠BQM的度数是：
| (n-2)•180° |
| n |
| 正多边形 | 正五边形 | … | 正n边形 | ||
| ∠BQM的度数 | 108° | … |
|
点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，用到的知识点是全等三角形的判定，等边三角形的性质，三角形的内角和外角的关系．解题的关键是证出△ABM≌△BCN，是一道基础题．
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