Question

已知△ABC，
①如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点；
②如图2，若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点；
③如图3，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点．
（1）探究上述三种情况下，∠P与∠A的数量关系（直接写出结论）；
（2）任选一种情况加以证明．

Answer 1

解：（1）对于图1：∠P=90°+∠A；
对于图2：∠P=∠A；
对于图3：∠P=90°-∠A；

（2）证明：如图2，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴∠PBC=∠ABC，∠ACP=∠ACE．
又∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC．
∵∠P=180°-∠PBC-∠BCP，
∴
=
=
=
=180°-（∠ABC+∠ACB）-∠A
=180°-（180°-∠A）-∠A
=∠A-∠A
=∠A．
分析：根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明．
点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，是经常出现的题目，最好能记住．